6 数学：矩阵

学习目标

• 目标

  • 知道什么是矩阵和向量

  • 知道矩阵的加法,乘法

  • 知道矩阵的逆和转置

  • 应用np.matmul、np.dot实现矩阵运算

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1 矩阵和向量

1.1 矩阵

矩阵，英文matrix，和array的区别矩阵必须是2维的，但是array可以是多维的。

如图:这个是 3×2 矩阵，即 3 行 2 列，如 m 为行，n 为列，那么 m×n 即 3×2

$$\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\\5 & 6\end{bmatrix}$$

​​矩阵的维数即行数×列数

矩阵元素(矩阵项):

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}$$

Aij 指第 i 行，第 j 列的元素。

1.2 向量

向量是一种特殊的矩阵，讲义中的向量一般都是列向量，下面展示的就是三维列 向量(3×1)。

$$A= \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$$

2 加法和标量乘法

矩阵的加法:行列数相等的可以加。

例:

$$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&4\\6&8\\10&12\end{bmatrix}$$

矩阵的乘法:每个元素都要乘。

例:

$$3*\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&6\\9&12\\15&18\end{bmatrix}$$

组合算法也类似。

3 矩阵向量乘法

矩阵和向量的乘法如图：m×n 的矩阵乘以 n×1 的向量，得到的是 m×1 的向量

例:

$$\begin{bmatrix}1&3\\4&0\\2&1\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}16\\4\\7\end{bmatrix}$$

1*1+3*5 = 16
4*1+0*5 = 4
2*1+1*5 = 7

矩阵乘法遵循准则：

(M行, N列)*(N行, L列) = (M行, L列)

4 矩阵乘法

矩阵乘法：

m×n 矩阵乘以 n×o 矩阵，变成 m×o 矩阵。

举例：比如说现在有两个矩阵 A 和 B，那 么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

• 练一练

• $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&0\end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}1&2&1\\1&1&2\\2&1&1\end{bmatrix}$

  求矩阵AB的结果

答案：

$$AB=\begin{bmatrix}1*1+2*1+3*2&1*2+2*1+3*1&1*1+2*2+3*1\\4*1+5*1+6*2&4*2+5*1+6*1&4*1+5*2+6*1\\7*1+8*1+0*2&7*2+8*1+0*1&7*1+8*2+0*1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9&7&8\\21&19&20\\15&22&23\end{bmatrix}$$

5 矩阵乘法的性质

矩阵的乘法不满足交换律：A×B≠B×A

矩阵的乘法满足结合律。即：A×（B×C）=（A×B）×C

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称 这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 I 或者 E 表示，从 左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0。如：

6 逆、转置

矩阵的逆：如矩阵 A 是一个 m×m 矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：

$$AA^{-1}=A^{-1}A=1$$

低阶矩阵求逆的方法:

​ 1.待定系数法

​ 2.初等变换

矩阵的转置：设 A 为 m×n 阶矩阵（即 m 行 n 列），第 i 行 j 列的元素是 a(i,j)，即：

A=a(i,j)

定义 A 的转置为这样一个 n×m 阶矩阵 B，满足 B=a(j,i)，即 b (i,j)=a (j,i)（B 的第 i 行第 j 列元素是 A 的第 j 行第 i 列元素），记 $A^{\mathrm{T}}=\mathrm{B}$。

直观来看，将 A 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方 45 度的射线作 镜面反转，即得到 A 的转置。

例：

$$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}a&c&e\\b&d&f\end{bmatrix}$$

7 矩阵运算

$$\begin{bmatrix}80&86\\82&80\\85&78\\90&90\\86&82\\82&90\\78&80\\92&94\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}0.7\\0.3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}84.2\\80.6\\80.1\\90\\83.2\\87.6\\79.4\\93.4\end{bmatrix}$$

7.1 矩阵乘法api：

• np.matmul

• np.dot

>>> a = np.array([[80, 86],
[82, 80],
[85, 78],
[90, 90],
[86, 82],
[82, 90],
[78, 80],
[92, 94]])
>>> b = np.array([[0.7], [0.3]])

>>> np.matmul(a, b)
array([[81.8],
       [81.4],
       [82.9],
       [90. ],
       [84.8],
       [84.4],
       [78.6],
       [92.6]])

>>> np.dot(a,b)
array([[81.8],
       [81.4],
       [82.9],
       [90. ],
       [84.8],
       [84.4],
       [78.6],
       [92.6]])

np.matmul和np.dot的区别:

二者都是矩阵乘法。 np.matmul中禁止矩阵与标量的乘法。 在矢量乘矢量的內积运算中，np.matmul与np.dot没有区别。